Миграция сейсмических данных. Миграция

Помимо временной миграции проведена глубинная миграция по сейсмограммам ОГТ.

Было построено несколько вариантов глубинно-скоростной модели (ГСМ), с которыми проводились миграционные процедуры.

При создании первого варианта ГСМ использовались скорости V ОГТ, на основе которых рассчитывался куб среднеквадратичных скоростей V RMS . Скорости V RMS пересчитывались, в свою очередь, в интервальные (Vинт) и инвертировались в глубинную область. С этой априорной скоростной моделью была выполнена глубинная миграция сейсмограмм (модули KIMTR- WEIKO (TOPAK, TTRAY, KIMIP).

Вторым вариантом стало построение «толстослоистой» модели. При таком типе модели скорости в пределах слоя постоянны по вертикали. Главное достоинство слоистой модели - возможность максимально уточнить скорости для нескольких границ - слоев модели, в качестве которых были выбраны основные целевые ОГ, протрассированные во временном кубе: А Т (P 1 k), А К, (P 1 k), I П (C 2 b), II П (C 1 t), III (D3tm).

Построение глубинно-скоростной модели выполнялось в специализированном комплексе «GeoVista» с использованием пакетных модулей обрабатывающей системы «Geocluster» для расчета времен прохождения лучей и глубинной миграции сейсмических данных.

Толстослоистая модель, называемая SLT - модель определяется тремя понятиями:

1) S (surface) - поверхность;

2) L (layer) - слой;

3) T (topology) - геометрия и порядок расположения слоев.

Процесс построения глубинно-скоростной модели среды начинался с создания однослойной исходной SLT-модели. В качестве границ между макрослоями принимались поверхности, отслеженные во временном кубе и мигрированные в глубинную область с постоянной интервальной скоростью (средней по данным СК скважин площади).

Для уточнения скоростной характеристики слоя использовалось интерактивное приложение ISO-x, где анализировались наборы глубинных сейсмограмм, предварительно рассчитанных с различными скоростями в диапазоне предполагаемого изменения (dV= -15%ч15% от исходной скорости). Наилучшее спрямление отражения целевого горизонта на сейсмограмме являлось показателем наиболее точной пластовой скорости. С уточненными пластовыми скоростями мигрировала карта Т 0 целевого ОГ с использованием лучевой миграции Рунге-Кутта для получения глубинной поверхности нижней границы слоя. Процедура повторялась итерационно для всех слоев модели.

С окончательно сформированной изотропной глубинно-скоростной моделью выполнена глубинная миграция до суммирования способом дифракционного преобразования Кирхгофа (модуль KIMIP).

Результаты миграции с последним вариантом ГСМ показали лучшее качество, и в дальнейшей работе использовалась «толстослоистая» модель (Приложение 25). Для более детального уточнения сейсмических скоростей по разрезу толстослоистая модель была преобразована в «сеточную» - сетку трехмерного грида скоростей, в интервале, включающем всю осадочную толщу пород. Глубинно-скоростная модель создавалась в приложении Vitamin пакета GeoVistа и состояла из двух слоев: 1- водного (в случае наземной съемки - воздушного) и слоя «sedimentory», который включал всю толщу осадочных пород. Созданная ГСМ послужила основой для выполнения томогафической инверсии в приложении VelTracer.

VelTracer - это интерактивное приложение пакета GeoVista, в котором реализован метод выполнения томографической глубинной инверсии для ограниченных удалений, основанный на одном из важнейших критериев нахождения оптимальной модели скоростей - выравнивании RMO (остаточное приращение времени) на сейсмограммах общих точек изображения (CIG).

Для работы инверсии в приложение были загружены априорная скоростная модель (двухслойная) и наборы кривых RMO(C2, C4…) - остаточного приращения времени на сейсмограммах CIG, полученных в результате работы модуля HDRES.

Модуль HDRES выполняет одновременный «пикинг» сейсмограмм PSDM для расчета всех параметров (C2, C4…), создает плотные массивы параметров, описывающих кривые RMO, которые представляются в виде линейных уравнений зависимости от удаления различной степени:

* X - удаление

* XRM - максимальное удаление

* i может быть четным или нечерным (1,2,3…), кратным или однозначным (i={2,4,6}, i=2,…).

Работа инверсии выполнялась в два шага:

1. Прямое моделирование, демиграция кривых RMO во временную область с использованием априорной скоростной модели;

2. Обратное моделирование, когда с переборами скоростей получали модельные RMO и определяли величину среднеквадратического отклонения (RMS).

Эти два шага повторялись до тех пор, пока финальные кривые RMО не стали достаточно спрямленными. Конечным результатом инверсии явилась уточненная глубинно-скоростная модель (Приложение 26).

С уточнённой глубинно-скоростной моделью была повторена процедура глубинной миграции, получены глубинные сейсмограммы и суммарный глубинный куб.

В глубинном кубе отслежены поверхности основных отражающих горизонтов, выполнен анализ мощностей между целевыми отражающими границами.

Анализ выявил наличие расхождений с данными бурения в точках расположения скважин, обусловленных анизотропией скоростей.

Сейсмические данные регистрируются при многих углах распространения, вследствие наличия выносов. Измеренная скорость сейсмических волн не является ни вертикальной, ни горизонтальной составляющей скорости; это некоторая гиперболическая аппроксимация их смеси. Вертикальная и горизонтальная составляющие скорости относятся к скорости ОГТ, определенной по сейсмическим данным при малых выносах, где:

V nmo - скорость на малых выносах, рассчитанная в результате анализа скорости суммирования,

V v - вертикальная составляющая скорости по данным ГИС,

V h - горизонтальная составляющая скорости, которая неизвестна.

е, д - анизотропные параметры Томсена, с помощью которых описывают расхождение по глубине (д) и остаточное приращение на дальних выносах (е) для глубинной миграции. Параметр «епсилон» получают в результате анализа остаточного приращения или томографической инверсии, параметр «дельта» получается проще всего из невязки глубин между скважиной и сейсмическим отражением после миграции глубин.

В верхнем интервале разреза была выявлена анизотропия скоростей, особенно заметная (до 19%) в толще терригенных артинских отложений (dH AТ -AК). В интервале dT Ат-Ip величина параметра д изменяется в диапазоне от (-1%) - 1%, в интервале dT Ip-IIp - от 0% до 5%, в интервале dT IIp-III - до -6%. Повышенные значения вертикальной компоненты интервальных скоростей в верхнедевонско-турнейской толще (отрицательный параметр дельта) характерны для девонских, часто трещиноватых карбонатов Пермского края.

Параметр дельта рассчитывался в точках скважин для каждого слоя по формуле:

д = 0,5 * [(PSDM thickness/MARKER thickness)2-1]

где: PSDM thickness - мощность слоя после глубинной миграции с изотропной моделью;

MARKER thickness - мощность слоя по скважинным данным.

Для вычисления параметра е, который определить сложно, применялась приближенная формула: е = 1,5 * д.

Полученные значения анизотропных параметров в отдельных точках скважин интерполировались и экстраполировались в пределах всей геометрии съёмки. Окончательная глубинно-скоростная модель создавалась с учетом параметров анизотропии - толстослоистые модели (кубы) параметров анизотропии интегрировались с сеточной скоростной моделью, которая также трансформировалась. В итоге была создана окончательная анизотропная сеточная глубинно-скоростная модель (куб скоростей), с которой проведена финальная миграция.

Процедура глубинной миграции выполнялась на кластерном сервере с использованием комплекса Geocluster (версия 5000).

Получение мигрированного изображения состояло из 2-х этапов. На первом этапе рассчитывались карты времён пробега (модуль TTRAY), при этом на вход модуля расчёта времён пробега подавались глубинно-скоростная модель и модели параметров анизотропии. В соответствии с параметрами анизотропии получаемые карты изохрон трансформировались таким образом, чтобы сохранить спрямление осей синфазности на глубинных сейсмограммах при изменении скоростей миграции. На втором этапе с использованием рассчитанных полей изохрон выполнили глубинную миграцию до суммирования в анизотропном варианте и получили сейсмическое изображение (Приложение 27).

Получены мигрированные глубинные сейсмограммы ОСТ, глубинный мигрированный куб суммотрасс, который затем был инвертирован во временную область (обращённый куб). По обращённому временному кубу были проведены процедуры, аналогичные процедурам, проведённым по суммарному кубу до миграции.

По сейсмическим материалам Чашкинской площади дополнительно опробованы построение ГСМ и миграция сейсмограмм с использованием программного пакета GeoDepth (ParadygmGeophysical).

Построение ГСМ начиналось также в варианте толстослоистой модели, которая уточнялась последующей томографической инверсией. В отличие от примененной ранее методики (GeoVista, CGG), при выполнении томографии изменения скоростей выполнялись в пределах слоев модели (Приложение 28), кроме того, поля скоростей довольно значительно сглаживались. Сравнение результатов миграции показало некоторое улучшение прослеживания отражений в верхнем временном интервале: ОГ А Т, А К

В словарях приводится множество значений слова run. Они родственны, но четко различаются между собой. Аналогично этому в геофизической разведке слово migrationимеет около четырех родственных между собой, но различающихся значений. Самым простым из них является значение, сходное со словом “двигаться”. Когда некоторый объект, расположенный в какой-то точке плоскости (x, z), некоторое время спустя обнаруживаетсяв ином месте, мы говорим, что он движется. Точно так же, когда некоторое вступление волны (часто называемое “событием”), расположенное где-то на плоскости (x, t) геофизических наблюдений, обнаруживается в иной точке линии наблюдений, располагающейся на большой глубине z, говорят, что оно мигрирует .

Целью сейсмической миграции, в общем случае, является перемещение (или миграция) сейсмического сигнала отраженных волн с поверхности в реальное местоположение отражающих границ или дифрагирующих объектов на глубине, используя скорости сейсмических волн, проходящих сквозь землю. Применяют различные виды и способы миграции: миграции временные и глубинные, миграции до (миграции сейсмограмм) и после суммирования.

Необходимость выполнения миграционных процедур демонстрируется следующим примером. На рис. 4.1 показаны характерные признаки искажения изображений среды на временных разрезах ОСТ.

Прежде всего, это касается наклонных границ. Из-за того, что времена отражения по нормали откладываются наразрезе ОСТ по вертикали, угол наклона границ на нем становится меньше, а сами границы удлиняются по горизонтали. Значит, изображение границ на разрезе ОСТ будет точным, только если они горизонтальны. Изображения узких синклинальных структур, таких, например, как межсоляно-купольные впадины, будут искажаться тем, что отражения от крыльев структуры будут пересекаться, а нижняя вогнутая часть складки будет отображаться в виде петли. Точки дифракции, как уже отмечалось, отображаются на разрезе в виде так называемых дифракционных гипербол. Это означает, что неоднородности и разрывные нарушения, вызывающие дифракцию, проявляются на разрезах ОСТ в виде не отображающих действительность дифракционных гипербол. Поэтому возникает возможность ошибочных геологических представлений, если такие гиперболы принять за отраженные волны.

Рис. 4.1. Искажение изображения среды на временном сейсмическом разрезе ОСТ в случаях: а - наклонной границы; б - узкой синклинальной складки; в - точки дифракции. 1 - истинное положение в разрезе, 2 - положение на разрезе ОСТ.

Из сказанного следует, что временной разрез ОСТ можно применять для геологической интерпретации только к том случае, если среда горизонтально-слоистая или близка к ней. При обычно встречающихся сложных средах (наклонные границы, разрывные нарушения) разрезы ОСТ использовать нельзя и их необходимо подвергнуть дополнительной обработке - миграции.

В более общем смысле сейсмическую миграцию (или учет сейсмического сноса) можно определить, как некоторую процедуру преобразования сейсмической информации (в том числеи временного сейсмического разреза ОСТ) для получения правильного изображения и положения в пространстве отражающих границ и дифрагирующих объектов .

При обработке данных ОГТ, берем сейсмограмму ОГТ, вводим статические, кинематические поправки и производим суммирование колебаний в пределах сейсмограммы ОГТ. Затем суммарную трассу откладываем от соответствующей точки ОГТ. От отражающей границы происходит отражение при разных положениях ПП и ПВ. При наклонных границах отражение происходит не от ОГТ. Точка отражения перемещается в сторону восстания границы, получается общая площадка. Истинная точка отражения начинает располагаться вверх по восстанию границы.

Сейсмический снос искажает положение границы, когда они не горизонтальны. Отклонением t или hдо отражающей границы. Если неправильно определить конфигурацию ОГ, то неправильно будут посажены скважины, неправильный подсчет запасов и разработка.

Наибольшие искажения временных разрезов за счет сейсмического сноса проявляется отчетливо при картировании синклинальных структур. Образуются «петли» за счет наклона границы.

Вывод: явление сейсмического сноса нужно устранять при обработке, чтобы повысить точность картирования ОГТ.

Миграция – процедура устранения сейсмического сноса, т.е. отражающая площадка мигрирует в истинное положение.

Наиболее простой способ миграции – путем суммирования по дифрагированных волнам. Д-преобразование – миграция по дифрагированным волнам.

Характерной особенностью годографа Д-волн является то, что его min всегда располагается над точкой дифракции. Дифрагированная волны распространяется во все стороны.

На рис. Точка М – источник упругих колебаний, min годографа над неоднородностью, которая ведет к образованию дифрагированной волны. Если длина неоднородность примерно равна длине волны, то образуется дифрагированная волна.

Годограф – график времени колебаний t(x). На мобильной точке ОГ, где меняются акустические свойства, возникают дифрагированные волны одновременно с остальными. Их интенсивность зависит от различия акустических жесткостей. С учетом этого возник способ миграции основанный на суммировании колебаний по годографам дифрагированных волн.

Суть: берем суммарный временной разрез, прослеживаем отражающую границу. Берем ПК, t 0 . Для этого t 0 рассчитываем годограф дифрагированной волны и суммируем отсчеты А вдоль этого годографа на соседних трассах. Если дифрагированная волна существует, то суммарное значение А будет большим. Если дифрагированной волны нет, то значение суммарных А будет небольшим. В результате таких манипуляций преобразуем в разрез суммарных А.

В результате получаем разрез, после суммирования по годографам по всем точкам суммарного разреза. Миграция делается на основе волнового уравнения:

U – потенциал смещений.

K – волновое число (пространственная частота).

Если миграция делается по волновому уравнению, то ее часто называют временной миграцией. Если миграция делается в частотной области, то миграция – частотная. Если при производстве М преобразовываем временные разрезы по оси времен – временная миграция. Если преобразование t в z, то это будет глубинная миграция.

М – взрывающая граница. В этом случае делается пересчет поля, которое регистрируются на поверхности земли U=U(x,y,z,t). Делаем пересчет поля в глубинный разрез, как бы перемещая поле до времени t 0 использую значения V/2.

Миграция по материалам 2D и 3D. 3D лучше, т.к. учитывается наклон от всех границ. 2D – наклон границы зависит от азимута профиля.

Если для миграции используются суммарные временные разрезы (кубы информации), то такая миграция будет называться миграцией после суммирования или миграцией по суммарному разрезу.

Существует способ миграции, которой называется миграция до суммирования. В этом случае проводится обработка всех материалов, формируется пластовая модели участка, затем формируется сейсмограмма ОГТ с учетом полученной модели производиться расчет годографов, но которых производиться суммирование трасс и фактически проводиться учет сейсмического сноса – миграция до суммирования.

Считается, что миграция до суммирования не только учитывает сейсмический снос, но и позволяет получить менее искаженные (суммированием) динамические особенности сейсмических колебаний.

Назначение процедуры ДМО (Dip….MoveOut)

DMO – условная кинематическая поправка за угол наклона ОГ.

DMO позволяет учесть угол наклона отражающей границы. Формируются годографы ОПВ.

Где – DMO.

Вводится перед вводом Δt кин, а затем производиться миграция.

Если вводим Δt кин, используем t c , то это время относим к точке М. DMO относят к точке D.

В 2001 г. в АО Центральная геофизическая экспедиция (ЦГЭ) совместно со специалистами Института прикладной математики им. М.В.Келдыша (ИПМ) была начата разработка программного комплекса 3D глубинной сейсмической миграции до суммирования (3D PSDM). Уже в 2002 г. была подготовлена стартовая версия комплекса программ, находящаяся с тех пор в активной производственной эксплуатации и постоянно совершенствуемая. Среди важных причин начала отечественной разработки можно указать на высокую стоимость, а также не всегда удовлетворяющие качество и быстродействие импортных программных продуктов, предлагаемых такими известными зарубежными фирмами, как Schlumberger, Paradigm Geophysical, Promax и другими.

Немаловажной причиной начала разработки собственного программного обеспечения был также риск возрастающей технологической зависимости от западных фирм-производителей в такой важной сфере как разведка нефти и газа. Напомним, что 3D глубинная сейсмическая миграция до суммирования является в настоящее время одним из ключевых программных средств, обеспечивающих максимально достоверное и разрешенное пространственное изображение изучаемой неоднородной геологической среды на основе данных сейсмических наблюдений.

Характеризуя вычислительную и техническую сложность задачи сейсмической миграции, можно привести следующие оценки, касающиеся характерного числа арифметических операций, требуемых для ее решения, а также объемов входных и выходных данных. Непосредственная реализация вычислений в рамках наиболее экономичной миграции Кирхгофа приводит к 10 16 арифметических операций для типичного объекта разведки. При этом объем исходных сложно структурированных сейсмических данных нередко превышает 1 Тбт (что характерно для морских съемок). Аналогичный объем могут занимать результаты сейсмической миграции.

Помимо этого, в ходе решения задачи возникает необходимость расчета времен пробега (решение уравнения эйконала) от всех источников и приемников, расположенных на поверхности наблюдений, до произвольно заданных глубинных точек изображения, образующих большие и плотные сетки. Объем подобного рода данных часто соизмерим или даже превышает объем исходных сейсмических данных и результатов миграции. Сказанное дает основание относить задачу сейсмической миграции к одной из сложнейших в вычислительном отношении прикладных научно-технических задач.

Благодаря появлению и широкому распространению в прошедшее десятилетие нового поколения мощных и сравнительно дешевых суперкомпьютеров типа PC-кластеров, удалось с помощью распараллеливания вычислений на большое число процессоров обеспечить высокую скорость выполнения вычислений. Кроме того, при разработке численных методов решения задачи сейсмической миграции были найдены пути сокращения вычислений примерно на порядок. Благодаря этому, в настоящее время стало возможным рассматривать процедуру сейсмической миграции как общедоступную и ввести 3D PSDM в стандарт обработки сейсмических данных.

В основу разработанного программного комплекса сейсмической миграции были положены наиболее современные математические модели и передовые технологии. Это дало возможность реализовать высокоэффективный и современный программный продукт, позволяющий получать практические результаты самого высокого качества. В следующем разделе будут кратко изложены математические и физические основы использованных методов, а в заключительном разделе будут приведены примеры их практического применения.

Методы

Современные методы постановки и решения задачи сейсмической миграции тесно соприкасаются с широким кругом задач математической физики, теорией распространения линейных волн в неоднородных изотропных и анизотропных средах, многомерными псевдодифференциальными уравнениями, теорией обратных задач рассеяния, асимптотическими и сеточными методами их решения, а также многими другими разделами современной прикладной математики и физики. В настоящее время можно выделить два основных математических подхода, положенных в основу постановки задачи сейсмической миграции.

1. Волновое продолжение

Первый, более традиционный подход, основанный на идее обращенного волнового продолжения, был развит в 70-х годах прошедшего века в пионерских работах J.Claerbout и J.Gazdag. Среди отечественных исследователей необходимо отметить важную работу Г.И. Петрашеня и С.А.Нахамкина. Основная идея метода обращенного волнового продолжения заключается в обращении физического (прямого) времени вспять и рассмотрении результата регистрации волн на поверхности наблюдений - сейсмограммы фиксированного источника, - в качестве заданного граничного условия. При этом традиционно используется акустическая модель волнового процесса и отвечающее ему скалярное волновое уравнение. В системе координат с обращенным временем волновое уравнение сохраняет свой привычный вид, а результат регистрации волн на поверхности наблюдений z = 0 представляет собой заданное граничное условие. Это позволяет «продолжить» указанное граничное условие - волновое поле сейсмограммы фиксированного источника, - с поверхности наблюдений z = 0 вглубь среды z > 0 с помощью решения смешанной задачи для скалярного волнового уравнения. Из-за отсутствия физически обоснованных начальных условий и замены их априорными нулевыми получаемое решение для поля продолженных вглубь неоднородной среды волн имеет приближенный характер.

По продолженному вглубь среды волновому полю может быть построено изображение отражателей и рассеивателей на основе известного принципа изображения. Кинематическое содержание этого принципа состоит в том, что в качестве изображения среды следует использовать определенное временное сечение продолженного вглубь среды волнового поля. Именно, в каждой заданной точке среды z > 0 следует выбрать значение продолженного волнового поля на том времени, которое соответствует времени прихода в эту точку прямой волны от импульсного зондирующего источника. В более общей формулировке, в каждой внутренней точке среды следует вычислить корреляцию во времени продолженного поля и поля зондирующей волны от точечного источника, т.е. корреляцию с функцией Грина. Дальнейшее важное развитие метод волновых продолжений получил в связи с появлением псевдо-дифференциального уравнения с двумя операторными квадратными корнями (DSR), которое широко используется в настоящее время при постановке и решении задачи глубинной миграции до суммирования данных многократных перекрытий. В 3D случае это уравнение имеет следующий вид:

, (1.1)

где
- обращенное время: ;
- момент окончания регистрации колебаний, отсчитываемый от момента срабатывания каждого импульсного источника;

Поверхностные координаты источников;
- поверхностные координаты приемников;
- глубина;
- сейсмические данные, представляющие совокупный результат регистрации сейсмических волн на поверхности наблюдений z = 0 , рассматриваемый как заданное граничное условие;

, - заданные локальные скорости распространения колебаний в соответствующих точках.

Недостающее начальное условие заменяется нулевым: .

В качестве изображения среды используется следующая функция - сечение решения задачи (1.1) (в обращенном времени):

С помощью не вполне строгих физических рассуждений можно показать, что при использовании калиброванных источников зондирующих колебаний функция (1.2) с точностью до масштабного множителя будет повторять поведение локального коэффициента отражения на границе раздела сред с разными акустическими свойствами. Используя теорию асимптотических приближений, нами было получено приближенное (лучевое) решение задачи (1.1)-(1.2) в виде интегральной формулы реализации сейсмической миграции сейсмограмм ОПВ, напоминающей традиционную миграцию Кирхгофа:

где

Искомая функция, передающая изображение изучаемой неоднородной среды, отвечающая с точностью до постоянного множителя локальному коэффициенту отражения на границе раздела сред;

Локальная величина скорости пробега волн в изучаемой среде;
- эйконал, или суммарное время пробега сейсмической волны от произвольного фиксированного источника до точки изображения и от точки до приемника ;

Произведение лучевых амплитуд (обратных геометрическому расхождению) в точке изображения;
- производная по времени поля однократно-отраженных или рассеянных волн сейсмограммы ОПВ;

Произведение косинусов углов падения нисходящей и восходящей волн на поверхность наблюдения z = 0 для заданной точки изображения r относительно вертикальной оси глубин.

Функция времени пробега (или эйконал) отыскивается на сетке с помощью разностной аппроксимации уравнения эйконала со 2-м порядком точности. Параллельно с расчетом времен отыскивается лучевое приближение амплитуды решения (обратной геометрическому расхождению) посредством сеточного решения соответствующего 3D уравнения переноса. Это обеспечивает достаточно корректный учет динамики волны, расходящейся из точечного источника, вдоль ее переднего фронта в сложно-построенной среде, включая расчет слабоинтенсивных головных и дифрагированных волн, возникающих на сильных разрывах фронта.

Реализация этой возможности в разработанной программе миграции на сегодняшний день, по-сути, не имеет аналогов. В целом, разработанная программа обеспечивает обработку с сохранением амплитуд, а ее результаты пригодны для последующего динамического AVO-анализа. Помимо сказанного, нами была реализована дополнительная опция, позволяющая сохранять азимутальные динамические характеристики результатов миграции, что дает возможность последующего динамического азимутального анализа ее результатов с целью поиска зон анизотропного поведения коэффициентов отражения, связанных с трещиноватостью пород.

*) выражение (1.3) отличается от ранее опубликованного авторами в статье , содержащей неточность

2. Обратная задача рассеяния

Альтернативные постановка и решение задачи сейсмической миграции как линеаризованной обратной задачи рассеяния были развиты в 80-х годах прошедшего века в работах G.Beylkin. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах N.Bleistein. Свою новую интерпретацию подход получил у авторов J.Schleicher, M.Tygel, P.Hubral. Основой метода является известное линеаризованное (с помощью Борновского приближения) интегральное уравнение Липмана-Швингера относительно неизвестной функции потенциала рассеяния:

Зарегистрированное поле однократно-рассеянных волн;

Функция Грина в 3D пространстве;

,

где описывает опорную (фоновую) модель среды, а - реальную среду.

Функция потенциала рассеяния описывает малые отклонения реальной среды от ее опорной модели, а ее визуализация используется как решение задачи миграции. Нами было построено приближенное асимптотическое решение интегрального уравнения (2.1) и получено интегральное выражение для миграции в случае неоднородной изотропной среды:
, (2.2)
напоминающее по структуре традиционную миграцию Кирхгофа.

Исходные сейсмические данные однократного прослеживания, заданные в параметрических координатах (например, площадных биновых координатах);

Суммарное время пробега от источника до точки изображения , и от точки изображения до приемника;

Произведение лучевых амплитуд для падающей и восходящей волн (обратных геометрическому расхождению) в точке изображения;

- якобиан преобразования (т.н. детерминант Белкина).

Заметим, что решение обратной задачи относительно неизвестной функции потенциала рассеяния соответствует изображению слагающих земную среду слоев, в то время как традиционное сейсмическое изображение скорее соответствует изображению границ раздела между указанными слоями. С целью привести в лучшее соответствие изображение потенциала рассеяния с традиционным сейсмическим изображением в (2.2) вместо исходных сейсмических трасс была использована их первая производная по времени .

Именно на основе (2.2) с учетом предыдущего замечания была реализована стартовая версия производственной программы сейсмической миграции, пригодная для обработки с сохранением амплитуд и AVO-анализа. Интересной, хотя и недостаточно изученной, альтернативой остается изображение именно геологических слоев, что представляется перспективным при изучении неоднородных сред в отсутствии резких границ раздела.

Программная реализация и результаты миграции

В настоящее время АО ЦГЭ обладает производственной программной реализацией миграции Кирхгофа и обширным 7-летним опытом ее успешного использования в самых разнообразных проектах. В качестве основного вычислительного средства используются как средние, так и большие вычислительные кластеры, содержащие от 10 2 до 10 3 вычислителей (процессоров либо ядер). Оперативные тестовые расчеты с целью корректировки скоростной модели среды и подбора апертуры миграции, обычно, выполняются по заданной сетке профилей (например, по каждому 10-му профилю). Такое тестирование может выполняться на компактном и недорогом 16-ядерном PC-сервере.

В настоящее время большинство производственных расчетов выполняется на основе решения задачи обращенного волнового продолжения (1.3), поскольку получаемые результаты такой миграции обладают большей помехоустойчивостью и лучшей разрешенностью, особенно в диапазоне глубин до 1.0-1.5 км. Операции интегрирования выполняются с помощью специально разработанных квадратурных схем, препятствующих появлению шумов аляйсинга пространственных частот. Для ознакомления с примерами результатов миграции читателю предлагается скачать прилагаемую презентацию (PPS 46.316Mb).

Наши услуги

• Высококачественное (с сохранением амплитуд, подавлением шумов аляйсинга, с любой требуемой апертурой) и оперативное выполнение 3D PSDM любых требуемых объемов сейсмических данных
• Построение и уточнение опорной глубинно-скоростной модели среды
• Пост-миграционная обработка, включающая:

  Глава 1. Решение волнового уравнения в параксиальном приближении. 14

  1.1 Параксиальная аппроксимация решения уравнения Гельмгольца. Уравнения квазипараболического типа.14

  1.2 Решение неоднородного уравнения Гельмгольца. Алгоритм продолжения волнового поля.18

  1.3 Поглощающие граничные условия.21

  1.4 Моделирование волновых полей в трехмерном случае.22

  1.5 Корректность определения амплитуд методом параксиальной аппроксимации в однородной среде.25

  Глава 2. Метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации.28

  2.1 Уравнение Гельмгольца и уравнения квазипараболического типа.28

  2.2 Приближенное решение уравнения Гельмгольца методом многоступенчатой параксиальной аппроксимации.30

  2.3 Граничные условия для уравнений метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации.31

  2.4 Решение уравнений квазипараболического типа с ненулевой правой частью. .34

  Глава 3. Примеры применения метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации.38

  3.1 Вертикально-неоднородные модели.38

  3.2 Горизонтально-неоднородные модели.38

  3.3 Модели со скачкообразным изменением скорости.47

  3.4 Модель соляного тела БЕС/БАСЕ.53

  3.5 Трехмерная модель.59

  Глава 4. Метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации и другие подходы к решению проблемы корректной оценки амплитуды волнового поля методами параксиальной аппроксимации.63

  4.1 Метод параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды.63

  4.2 Модифицированный метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации.66

  4.3 Связь метода локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации и метода параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды.68

  4.4 Вопросы практической реализации алгоритма продолжения волново- го поля в нижнее полупространство.70

  Глава 5. Модифицированный принцип построения изображения. Связь с методом пссвдоинверсии. 74

  5.1 Модифицированный принцип построения изображения.74

  5.2 Пример применения модифицированного принципа построения изображения для миграции.77

  5.3 Метод псевдоинверсии.80

  5.4 Высокочастотная асимптотика модифицированного принципа построения изображения.82

  5.5 Эффекты, связанные с ограниченностью апертуры системы наблюдений. 84

  5.6 Примеры применения миграции на основе модифицированного принципа построения изображения: синтетические данные.89

  5.7 Результат миграции сейсмических данных Мексиканского залива. 97

  5.8 Алгоритм миграции в трехмерном случае.99

  Рекомендованный список диссертаций

  • Определение скоростей упругих волн по данным вертикального сейсмического профилирования с использованием миграции волн различной кратности 2011 год, кандидат физико-математических наук Насыров, Денис Анварович

  • Определение параметров среды методами миграции сейсмических полей и векторной лучевой инверсии 2005 год, кандидат физико-математических наук Яковлев, Иван Валерьевич

  • Сравнительный анализ методов миграционных преобразований 2002 год, кандидат физико-математических наук Апрелева, Софья Владимировна

  • Математические модели и методы построения изображений дифрагирующих объектов в сейсмической разведке 2000 год, доктор физико-математических наук Масюков, Андрей Вадимович

  • Методы визуализации строения среды в сейсмоакустике 1984 год, кандидат физико-математических наук Жерняк, Геннадий Федорович

  Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Миграция сейсмических данных в истинных амплитудах на основе метода параксиальной аппроксимации»

  Обзор работ по теме диссертации. На сегодня методы миграции, основанные на решении волнового уравнения в параксиальном приближении (см. , ), широко используются в сейсморазведке для построения изображений среды. Однако существенным недостатком большей части разработанных методов является невозможность корректного определения параметров среды по данным изображениям. Задачей данной работы являлась разработка метода миграции сейсмических данных, позволяющего восстанавливать параметры среды на основе методов параксиальной аппроксимации. Исследования в данной работе были ограничены акустическим случаем с постоянной плотностью, при котором процессы распространения волн описывались волновым уравнением.

  Методы параксиальной аппроксимации могут быть использованы для расчета волновых полей в том случае, когда для решения поставленной задачи представляют интерес волны, распространяющиеся в направлениях, в некоторой степени близких к выделенному. Например, в случае проведения работ по методам наземной (морской) сейсмики или ВСП, выделенным направлением распространения волн можно считать направление вертикальной оси.

  При моделировании волновых полей в сложно-построенных средах методы параксиальной аппроксимации представляют собой альтернативу лучевым методам (см. ), область применимости которых ограничена высокочастотным приближением и удаленностью от зон каустик. Практическая реализация методов параксиальной аппроксимации сводится к решению уравнений специального типа, которое не зависит от наличия каустик или используемого диапазона частот.

  Алгоритмы решения уравнения квазипараболического типа в частотной области, основанные на продолжении волнового поля с дневной поверхности на последовательные глубинные уровни, обладают существенно более высокой производительностью по сравнению с точными копечио-разностпыми алгоритмами решения волнового уравнения (см. ). Это позволяет практически реализовывать класс алгоритмов, основанных на параксиальной аппроксимации, для миграции сейсмических данных в трехмерном случае.

  Идея параксиальной аппроксимации была впервые предложена в работах и [б], где рассматривалось решение волнового уравнения, отвечающее волнам, распространяющимся в направлениях, близких к выделенному. Для решения задач геофизики этот подход был впервые использован в работах Клербо (см. , ). Методы параксиальной аппроксимации позволяют корректно оценивать время прихода волн при условии, что угол между направлением их распространения и выделенным направлением (вертикалью) не превышает некоторого известного значения. Так, в работе были предложены два типа параксиальной аппроксимации: 15-градусная и 45-градусная, для которых вышеупомянутое значение максимально допустимого угла составляет соответственно 15 и 45 градусов. С течением времени появились схемы, для которых значение данного угла составляет 60 и более градусов (см. ). Вышеупомянутые реализации параксиальной аппроксимации сводятся к конечно-разностному решению уравнений параболического (в случае 15-градусной аппроксимации) или квазипараболического (в случае аппроксимации высшего порядка) типа. Уравнением квазипараболического типа здесь и в дальнейшем названо уравнение, символьная запись которого асимптотически совпадает с уравнением параболы при малых углах между вертикалью и направлением распространения волны. Процедура решения данных уравнений представляет собой продолжение волнового поля в частотной области вдоль выделенного пространственного направления. Так как эта группа методов использована в настоящей работе, их описание дано в главе 2.

  Альтернативным подходом является продолжение волновых полей в области частота-волновое число. Этот подход впервые был предложен в работах , (метод фазового сдвига) и со временем породил группу методов GSP (Generalized Screen Propagators, см. ). Методы GSP основаны на учете вклада двух составляющих волнового поля на каждом шаге его продолжения через тонкую прослойку среды. Первая составляющая расчитывается методом фазового сдвига для однородной опорной модели слоя. Вторая составляющая учитывает вклад неоднородности прослойки в приближении Борна.

  Методы параксиальной аппроксимации позволяют корректно моделировать время прихода волн в некотором диапазоне направлений их распространения. Однако, эти методы обладают следующим недостатком: амплитуда волн, полученная на их основе, верна лишь в однородной среде. Таким образом, классические методы параксиальной аппроксимации позволяют получить лишь структурное изображение среды, но не информацию о ее параметрах.

  Следовательно, актуальной задачей является разработка метода моделирования волновых полей, основанного на параксиальной аппроксимации, но позволяющего получать более точные оценки амплитуд волновых полей. Решению данной задачи посвящено относительно немного работ. В работе было предложено модифицированное уравнение параболического типа, решение которого корректно воспроизводит коэффициент прохождения волны через границу раздела двух сред при нормальном падении. Но этот подход не воспроизводит корректно коэффициента прохождения волны при ненулевом угле падения и не учитывает влияния латеральных вариаций скорости на амплитуду. В работе предложена другая модификация уравнения квазипараболического типа, для которого решения уравнений эйконала и переноса входят во множество решений аналогичных уравнений, полученных для волнового уравнения. Теоретически этот подход достаточно привлекателен, однако пути его практической реализации не вполне ясны. Этот вопрос будет обсуждаться в главе 4 настоящей работы.

  В связи с проблемой оценки амплитуды волновых полей с использованием методов параксиальной аппроксимации следует упомянуть работы , , в которых предлагается интересный подход к описанию взаимосвязи волнового уравнения и уравнений квазипараболического типа, описывающих распространение волн в противоположных направлениях. Волновое уравнение разбивается на два зависимых уравнения квазипараболического типа, которые становятся независимыми в случае вертикально-однородной среды. Такое представление позволяет учитывать влияние вертикального градиента скорости в среде на волновое поле. Однако, полученные уравнения содержат оператор квадратного корня из оператора Гельмгольца, который не может быть выписан явным образом. Аппроксимация данного оператора ведет к ошибкам в оценке ампрлитуд волновых полей. В работе предлагается выразить оператор квадратного корня через собственные числа и собственные функции (вектора в дискретном случае) оператора Гельмгольца. Но практическое использование такого подхода затруднено в силу чрезвычайных вычислительных затрат, требуемых для его реализации в трехмерном случае. В работе предлагается использовать однородное асимптотическое разложение для получения функции Грина уравнения квазииараболического типа. Однако метод вычислений, следующий из построений работы , является слишком громоздким для практического использования.

  Однако реализация метода вычисления, дающего верную оценку амплитуд волновых полей, еще не достаточна для того чтобы построить алгоритм восстановления параметров среды. \

  За последние тридцать лет было разработано несколько подходов к извлечению информации о параметрах среды из изображений, полученных при миграции сейсмических данных. Данные подходы позволяют восстанавливать либо непосредственно величины возмущений параметров относительно опорной модели среды, либо зависимость коэффициента отражения волны от границы раздела сред от угла падения.

  Первый подход предложен в работах Клербо . Данный метод позволяет восстанавливать коэффициент отражения от границ и основан на обработке данных, отсортированных по пункту взрыва. Изображение среды строится как результат кросс-корреляции волнового поля, созданного источником, с волновым полем, полученным в результате обращенного продолжения ноля, зарегистрированного приемниками. В отечественной литературе вопросы построения обращенно-продолженного волнового поля обсуждались в работах . В работе было показано, что восстановление положения отражающих границ определяется кинематическими характеристиками волновых полей. Для того, чтобы восстановить коэффициент отражения, результат кросс-корреляции нормируется на мощность волнового поля, созданного источником. Этот принцип построения изображения среды будет далее в работе называться классическим. При вышеописанной постановке задачи не делается никаких предположений относительно метода моделирования волнового поля. Таким образом, принцип построения изображения Клербо может применятся совместно с лучевыми и конечно-разностными методами моделирования.

  На практике обычно используются данные многократного перекрытия (многих пунктов взрыва) и длина косы приемников (базы наблюдений) существенно ограничена. Вследствие этой ограниченности изображение среды, построенное по данным одного пункта взрыва, несет мало полезной информации. Для того, чтобы построить более полное изображение среды, изображения, полученные по разным пунктам взрыва, суммируются. При этом суммировании теряется информация о коэффициентах отражения и параметрах среды, так как изображение каждого сегмента среды зависит от положения пункта взрыва. Таким образом, для восстановления параметров среды по данным многократного перекрытия представляет интерес разработка метода, не привязанного к определенной схеме наблюдений (как классический принцип построения изображения, привязанный к схеме наблюдений с общим пунктом взрыва).

  В восьмедесятых годах задача миграции сейсмических данных была сформулирована как обратная задача в терминах метода наименьших квадратов, см. , или в терминах обобщенного преобразования Радона, см. . В отечественной литературе постановка задачи восстановления параметров среды как обратной геофизической задачи, решаемой методом наименьших квадратов, обсуждалась в работах .

  Использование лучевого метода для представления волновых полей позволило разработать методы псевдоинверсии, см. , . Идея методов псевдоинвсрсии заключается в подборе такого оператора отображения из пространства сейсмических данных в пространство параметров среды, копмозиция которого с высокочастотным представлением оператора моделирования (отображения из пространства параметров в пространство данных) давала бы оператор тождественного равенства в высокочастотном приближении и при неограниченной апертуре сейсмических наблюдений. Такой подход напоминает метод Бейкуса-Гильберта, см. . К этой-же группе методов можно отнести методы миграции Киргхоффа, см. . Миграция Киргхоффа основана на взвешенном диффракционном преобразовании сейсмических данных. Данное преобразование определяет отображение из пространства данных в пространство параметров. Весовая функция подбирается так, чтобы параметры восстанавливались корректно. Такой подход позволил также разработать метод восстановления параметров анизотропных сред, см. . Миграция Киргхоффа тесно связана с методами псевдоинверсии, см. , и классическим изображающим принципом, см. .

  Вышеописанные методы миграции (на основе псевдоинверсии или диффракцион-ного преобразования), основанные на лучевом методе, позволяют получать как оценку коэффициентов отражения, так и непосредственную оценку возмущений (скачков на границах раздела) параметров среды, которые не зависят от углов падения волн на границы раздела. Данные методы могут применятся для обработки данных различных схем наблюдений. Однако они требуют удовлетворения условий высокочастотного приближения (лучевого метода) и достаточно плотного покрытия профиля (площади) источниками и приемниками. Однако, помимо того что на практике эти условия не всегда выполнены, в работе приведены результаты, свидетельствующие о том, что использование низкочастотных волн может быть крайне полезно для получения более качественных изображений сред под базальтовыми толщами.

  Теоретически, наиболее общий подход к решению обратных задач сейсмической разведки основан па методе наименьших квадратов, см. . При постановке задачи на основе метода наименьших квадратов имеется возможность работы с любой конфигурацией системы наблюдений, в том числе и системы с неплотным покрытием участков профилей (площадей) приемниками (источниками). Также подход на основе метода наименьших квадратов позволяет работать с любыми методами моделирования волновых полей. Использование регуляризации позволяет учитывать априорную информацию при восстановлении параметров среды.

  В работах было показано, что градиент функционала невязки между модельными и измеренными данными, взятый но параметрам среды, имеет структуру оператора миграции на основе классического изображающего принципа (т. е. формула для градиента представляет из себя результат кросс-корреляции между полем, порожденным источником, и полем, полученным в результате обратного продолжения волновых полей, зарегистрированных приемниками). Но сам по себе градиент функционала невязки не дает истинных значений параметров среды. Набор параметров среды, доставляющий минимум функционалу невязки, получается в результате умножения матрицы, обратной Гессиану (матрицы вторых производных функционала невязки по параметрам), на градиент функционала (с обратным знаком). На сегодняшний день ввиду больших размеров матрицы Гессиана не представляется возможным рассчитать обратную матрицу. Для того чтобы аппроксимировать обратную матрицу, был предложен ряд диагональных аппроксимаций матрицы Гессиана, см. . Однако, на практике матрица Гессиана не является диагональной, поэтому подходы, основанные на диагональной аппроксимации, могут дать правильную оценку параметров в ограниченном числе случаев. Этот вопрос будет рассмотрен в главе 7 настоящей работы. Тем не менее, для того, чтобы улучшить оценку параметров среды, в рамках метода наименьших квадратов существует возможность итерационного подхода. Итерационный алгоритм восстановления параметров среды может быть также использован в случае недостаточного количества источников (приемников) на поверхности для построения качественного изображения среды в результате миграции (первого шага итерационного алгоритма). Однако, применение итерационных алгоритмов требует значительных вычислительных затрат.

  Таким образом, рассмотрены основные методы восстановления параметров среды: метод, основанный на классическом принципе построения изображений, метод псевдо-инверсии и метод наименьших квадратов. Метод псевдо-инвсрсии основан на лучевом методе расчета волновых полей. Однако, когда модель среды является достаточно сложной, возникают зоны многолучевости и каустик. Это приводит к практическим трудностям вычисления волновых полей лучевым методом в таких зонах, а также невозможности корректной оценки амплитуды волновых полей в зонах каустик. В таких случаях более предпочтительно рассчитывать волновые поля конечно-разностными методами, в том числе и основанными на параксиальной аппроксимации. Использование метода псевдо-инверсии совместно с конечно-разностными методами расчета волновых полей не представляется практически возможным в силу излишней вычислительной громоздкости такого подхода. Следовательно, в данной работе метод псевдо-инверсии в его классической формулировке не используется для практических расчетов. Для того чтобы построить алгоритм восстановления параметров среды с использованием конечно-разностных методов моделирования, нужно либо адаптировать метод псевдо-инверсии для использования совместно с конечно-разностным методом, либо модифицировать классический принцип построения изображения, либо использовать метод наименьших квадратов, основанный на диагональной аппроксимации матрицы Гессиана, см. .

  В этом отношении следует упомянуть метод восстановления коэффициентов отражения волн от границ раздела в среде, предложенный в работе . Метод является по сути коррекцией аналогичного метода, предложенного в работе . Данный метод предназначен для обработки данных многократного перекрытия и основан на I продолжении волновых полей в нижнее полупространство методами параксиальной аппроксимации. Первым шагом такого алгоритма является снятие эффекта среды выше некоторого заданного глубинного уровня. Такое снятие достигается "перемещением" источников и приемников на заданный уровень и осуществляется с использованием теоремы взаимности и алгоритмов продолжения волновых полей. Вторым шагом данного алгоритма является вычисление коэффициента отражения в результате преобразования типа Радона сейсмических данных, "перемещенных" на заданный глубинный уровень. Вышеописанный метод требует достаточно плотного покрытия профилей приемниками и источниками. Также общей проблемой технического характера, касающейся методов этого типа, является трудность хранения огромных объемов информации, требующихся для вычисления коэффициентов отражения для ряда углов падения в каждой точке среды.

  Таким образом, на пути восстановления параметров на основе методов параксиальной аппроксимации стоит две проблемы: проблема некорректной оценки амплитуды в рамках классической параксиальной аппроксимации и проблема разработки метода восстановления параметров среды по данным многократного перекрытия. Цели работы

  1. Первой задачей данной работы являлась разработка метода решения прямой задачи, основанного на параксиальной аппроксимации и позволяющего корректно оценивать амплитуду волновых полей в неоднородной среде.

  2. Второй задачей работы являлась разработка метода восстановления параметров среды по данным многократного перекрытия с использованием конечно-разностных алгоритмов вычисления волновых полей на основе параксиальной аппроксимации. Основные полученные результаты.

  1. Предложен метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации, учитывающий неоднородность среды при моделировании волновых полей. Метод позволяет ввести поправку за ошибку факторизации уравнения Гельмгольца, возникающую в неоднородной среде, посредством решения дополнительных уравнений квазипараболического типа с правой частью, включающей информацию о неоднородности среды.

  2. Предложен метод локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации, который позволяет моделировать волновое поле, не включающее отраженных волн. Такая модификация позволяет избежать типичных артефактов, появляющихся в изображениях среды при миграции сейсмических данных на основе методов моделирования волновых полей, воспроизводящих отраженные волны.

  3. Предложен модифицированный принцип построения изображения среды, целью которого является непосредственно восстановление относительных возмущений медленности (обратной скорости распространения волн) среды. Относительное возмущение медленности определено как разность медленностей в истинной и опорной моделях сред, деленное на медленность в опорной среде. Изначальная формулировка модифицированного принципа построения изображения позволяет получать оценки скачков медленности на границе вместо оценок коэффициентов отражения, даваемых классическим принципом построения изображения. Преимуществом такого подхода является то, что полученные оценки скачков параметров среды не зависят от угла падения волны и от положения пункта взрыва. Следовательно, при суммировании изображений, полученных по данным разных пунктов взрыва, информация об этих скачках параметров сохраняется. Предложенный метод может быть использован совместно с любым конечно-разностным методом моделирования волновых полей.

  4. В высокочастотном приближении модифицированный принцип построения изображения тесно связан с методом псевдо-инверсии. На основе изучения этой связи предлагается формулировка модифицированного изображающего принципа, позволяющая восстановить относительное возмущение медленности как функцию пространственных координат. Также взаимосвязь между модифицированным изображающим принципом и методом псевдо-инверсии позволяет показать, что суммирование изображений среды, построенных по данным с общим путктом взрыва (common shot data), с изображениями, построенными по данным с общим пунктом приема (common receiver data), дает в высокочастотном приближении тот-же результат, что и суммирование изображений, построенных по данным с общим удалением приемника (common-oiFset data) методом псевдо-инверсии, которые являются на практике более информативными, чем изображения на основе данных с общим пунктом взрыва и общим пунктом приема.

  5. Показано, что в высокочастотном приближении миграция на основе метода наименьших квадратов приводит к тому-же результату, что и метод псевдо-инверсии, при условии, что волновые поля, рассеянные на неоднородностях среды, могут быть описаны в приближении Борна, а также при условии неограниченности апертуры сети приемников. Учитывая связь между модифицированным изображающим принципом и методом псевдо-инверсии, этот результат позволяет утверждать, что модифицированный принцип построения изображения может быть использован в итерационном алгоритме уточнения параметров среды. Следует отметить, что метод исевдо-инверсии использовался для этой цели в работах . Полученный в данной работе результат формально оправдывает эти подходы. Практическая значимость результатов

  Предложена методология миграции сейсмических данных, основанная на методе многоступенчатой параксиальной аппроксимации и модифицированном принципе построения изображения, см. . Метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации является возможным решением проблемы некорректной оценки амплитуд волновых полей классическими методами параксиальной аппроксимации. По построению реализация метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации основана на классическом методе параксиальной аппроксимации. В данной работе применялся метод параксиальной аппроксимации, который был предложен в работах и , основанный на рациональной аппроксимации оператора квадратного корня и конечно-разностной схеме продолжения волнового поля внутрь исследуемой среды. Но метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации может применяться совместно с любым другим алгоритмом продолжения волнового поля на основе параксиальной аппроксимации, который дает верную оценку времен прихода волн в некотором диапазоне направлений их распространения, но не дает корректной оценки их амплитуд, например, с методом, основанном на методах вЭР (см. , ).

  Модифицированный принцип построения изображения позволяет восстанавливать параметры среды по данным многократного перекрытия. Миграция на основе модифицированного принципа построения изображения может применяться совместно с любым конечно-разностным алгоритмом моделирования (продолжения внутрь среды) волновых полей.

  Основные положения, выносимые на защиту

  1. Разработан метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации, позволяющий получать существенно улучшенные оценки амплитуд волновых полей по сравнению с методом классической параксиальной аппроксимации. Метод может применяться для расчета волновых полей в неоднородных средах с горизонтальными и вертикальными градиентами скоростей распространения волн, а также с отражающими границами, на которых скорость терпит разрыв. Метод позволяет рассчитывать сейсмограммы отраженных волн.

  2. Предложен модифицированный принцип построения изображения среды, позволяющий оценивать параметры скоростной модели среды по данным многократного перекрытия. Показано, что в высокочастотном приближении методы восстановления параметров среды на основе модифицированного принципа построения изображения, метода псевдо-инверсии и метода наименьших квадратов ведут к идентичным результатам.

  3. Предлагаемая методология миграции опробована на ряде полевых и синтетических сейсмичеких данных, в том числе и созданных для модели соляного тела, принятой в международных геофизических обществах БЕС и ЕАСЕ в качестве эталона для тестирования алгоритмов миграции.

  В главе 1 дано описание методов параксиальной аппроксимации, предложенных в работе , которые были использованы автором для расчетов волновых полей.

  В разделе 1.1 введено понятие параксиальной аппроксимации решения однородного уравнения Гельмгольца, т.е. решения, описывающего распространение волн в направлениях, близких к выделенному. Вводится понятие уравнений квазипараболического типа: и(х,г,ш) = 1Ааи(кх,г,ш), (1) где

  К = + (2) 1 п - целое положительное число, Ла - псепдо-дифференциальный оператор, который является аппроксимацией оператора Л = ^к2 + ^, к - волновое число. Решение уравнений вида (1) в случае однородной среды корректно описывает распространение воли в направлениях, близких к выделенному. Практическое использование этих уравнений обусловлено тем, что в неоднородной среде их решение корректно воспроизводит времена прихода волн. Следовательно, миграция на основе уравнений квазипараболического типа дает корректные структурные изображения среды.

  В разделе 1.2 описывается способ решения неоднородного уравнения Гельмгольца с правой частью, отвечающей точечному источнику внешних сил. Приведено описание алгоритма продолжнения волнового поля вглубь исследуемой среды. В разделе 1.3 дано описание поглощающих граничных областей, позволяющих подавить отражения от границ модели. В разделе 1.4 дано описание алгоритма продолжения волнового поля в трехмерном случае. В разделе 1.5 показано, что даже в случае однородной среды метод параксиальной аппроксимации дает корректную оценку амплитуды волнового поля лишь в ограниченной ее области.

  В разделе 2.1 однородное уравнение Гельмгольца представлено в терминах операторов продолжения волновых нолей, используемых в методе параксиальной аппроксимации:

  §-г+гЛа)(£-гК)и = Еи, (3) где

  Е = + (АЦ - А2). (4) является оператором расхождения, содержащим информацию о неоднородности среды.

  В разделе 2.2 предлагается решение уравнения (3), основанное на методе последовательных приближений, которое сводится к последовательному решению трех уравнений квазипараболического типа: = гАаи0, (5) дг гАа)щ/2 = Ещ, (6) - г"Ла)"1 = «1/2. (7) щ является решением уравнения (3) в нулевом приближении и отвечает методу классической параксиальной аппроксимации, щ является поправкой, учитывающей влияние неоднородности среды и ошибки аппроксимации оператора Л0. ио + щ является решением (3) в первом приближении. Последовательное решение уравнений (5), (б), (7) названо методом многоступенчатой параксиальной аппроксимации.

  В разделе 2.3 получены граничные условия для уравнений метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации: ио|г=+0 = (8) где к(х) является решением уравнения:

  9) с поглощающими граничными условиями; 0; (ю) где является решением уравнения:

  Дх + ^^оу)Л1=«1/2ио- (12)

  Таким образом, практическая реализация метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации сводится к трем шагам:

  1. Решение уравнения (5) с граничным условием (8) на верхней границе модели (г = 0). На данном этапе вычисляется значение оператора расхождения Ещ на поле и0.

  2. Решение уравнения (б) с правой частью Ещ, вычисленной на предыдущем шаге, и граничным условием (10) на нижней границе модели (г - гтах).

  3. Решение уравнения (7) с правой частью 111/2 и условием (11) на верхней границе модели. В результате, вычисляется поправка г^ к решению уравнения Гельмгольца в нулевом приближении. Итоговое решение дается суммой щ + щ.

  В разделе 2.4 приведено формальное решение неоднородных уравнений квазипараболического типа (6) и (7) с граничными условиями (10), (И) и указан способ его практической реализации.

  В главе 3 приведены примеры опробования метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации на различных моделях сред. Для сравнения амплитуд волновых полей, полученных в рамках классической и многоступенчатой параксиальной аппроксимаций, была рассчитана относительная разность г = (А - Н)/Н между амплитудами А, даваемыми параксиальной аппроксимацией (классической или многоступенчатой) и амплитудой II результата конечно-разностного решения уравнения Гельмгольца.

  В разделах 3.1 и 3.2 приведены результаты сравнения на вертикально-неоднородных и горизонтально-неоднородных скоростных моделях. В разделе 3.3 приведены результаты сравнения на моделях сред, содержащих разрывы скорости распространения воли (отражающие границы) и показано, что метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации позволяет моделировать сейсмограммы отраженных волн. В разделе 3.4 метод многоступенчатой параксиальной аппроксимации опробован на сглаженной модели соляного тела БЕС/ЕАСЕ. В разделе 3.5 приведен пример применения метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации в трехмерном случае.

  В главе 4 предложен метод локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации, позволяющий скорректировать амплитуду волн, распространяющихся в определенном направлении, но не воспроизводящий отраженных волн. Необходимость такой модификации вызвана тем, что наличие отраженных волн при миграции сейсмических данных может приводить к артефактам в изображениях среды. Проведено сравнение метода локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации с методом параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды (предложенным в ).

  В разделе 4.1 приведено описание метода параксиальной аппроксимации с лучевой поправкой за неоднородность среды (см. ). Данный метод основан на решении модифицированного уравнения квазипараболического типа: - гЛ"и -ви = 0. (13) аг

  Лд является интегральной аппроксимацией оператора квадратного корня, задаваемой выражением к{и = к{и + - С ¿5\/1 - з"21тХ{з,х,г,ш){у^х)2и), (14)

  7Г J-l где г(5, х, 2, и) = и2 + з2(г;У1)2, (15) г;Ух)2 = Уг^у-^, а результат действия оператора Ь?1 на функцию / (д = Ь^1}) определяется решением уравнения: и2 + з2(ь^х)2)д = /. (16)

  Уравнение переноса для амплитуды высокочастотного решения уравнения (13) совпадает с уравнением переноса, полученного для уравнения Гельмгольца. Однако путь практической реализации решения уравнения (13) не вполне ясен.

  В настоящей работе предлагается метод локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации в разделе 4.2. Этот метод основан на решении уравнений метода многоступенчатой параксиальной аппроксимации (5), (6) и (7) не во всей области модели, от 2г = 0 до г = гтах, а локально в каждом интервале глубин (г\,г\ 4- Дг). Таким образом можно осуществить продолжение волнового поля с верхней границы {г\) интервала глубин на нижнюю его границу (21 + Лг) и построить волновое поле во всей среде. Предельный переход при Аг -* 0 позволяет получить уравнение для волнового поля в рамках метода локально-многоступенчатой параксиальной аппроксимации: ди - ih.aU -Ти = 0, (17) ах где

  Ти~шЕи. (18)

  Оказывается, что если Л„ = А1а (где Л„ задано выражением (14)), уравнения переноса для уравнений (13) и (17) совпадают. Это показано в разделе 4.3. В разделе 4.4 обсуждаются вопросы практической реализации алгоритмов продолжения волновых полей, описанных в данной главе.

  В главе 5 предлагается модифицированный принцип построения изображения для миграции данных многократного перекрытия и обсуждаются различные аспекты его применения.

  В разделе 5.1 обсуждаются недостатки классического принципа построения изображения (который предназначен для восстановления коэффициента отражения В.(9), зависящего от угла падения в по данным общего пункта взрыва) и предлагается модифицированный принцип построения изображения среды, предназначенный для восстановления относительного возмущения медленности среды, определяемого следующим образом: г(х) = 2!<М, (и) где <Т(- истинная медленность среды, зависящая от координат, и сг0 - медленность в опорной модели среды, используемой для миграции.

  Модифицированный принцип построения изображения среды формулируется в виде: 1 дщ(х„х, и) дЩ(х*, х, и>) duj(xs,x,u>) дщ(хя,х,ш) ох ох cfz oz

  Результат применения данного принципа /¿(х3, х) дает оценку функции г+(х), которая совпадает с г(х) на верхней кромке отражающих границ. Изображение 1^(хя,х) выгодно отличается от результата применения классического принципа построения изображения тем, что почти не зависит от положения пункта взрыва. Поэтому при суммировании изображений, построенных по данным разных пуктов взрыва, информация о параметрах среды сохраняется.

  В разделе 5.2 приводится пример применения модифицированного принципа построения изображения для миграции синтетических сейсмических данных морского типа. Показано, что функция г+(х), оцененная на основе модифицированного принципа построения изображения (20) не совпадает с г(х).

  Сравнение модифицированного принципа построения изображения в высокочастотном приближении с методом нсевдо-инверсии, предложенным в , позволяет сформулировать модифицированный принцип построения изображения таким образом, чтобы он позволял восстанавливать функцию г(х): г(х) » Im(*s,х) = Л>еп duisgn(u)(iid(x„ х,ш)щ(хя, х,ш)+ ,21)

  1 rl диы(х,х,ш) 1 9щ(х,х,и>) , 1 дил(х,х,ш) 1 дЩ(х,х,ш)-1\ к2 И дх i дх ^ 1 dz i dz J/"

  Однако, в силу того, что принцип построения изображения предназначен для обработки данных общего пункта взрыва, при построении изображений среды по данным многих пунктов взрыва, возникают ошибки оценки возмущения медленности среды, связанные с ограниченностью системы наблюдений. В разделе 5.5 обсуждаются эти эффекты и предлагается способ их устранения, основанный на суммировании изображений, построенных по данным общего пункта взрыва и общего пункта приема. В высокочастотном приближении показано, что такое суммирование эквивалентно суммированию изображений, построенных по данным общего выноса приемника. Практическая ценность этого результата состоит в следующем. Данные общего выноса обладают существенно большей апертурой на практике, чем данные общего пункта взрыва и общего пункта приема. Поэтому изображения, построенные по данным общего выноса приемника методом псевдо-инверсии, обладают лучшим качеством. Однако лучевые методы, на которых основан метод псевдо-инверсии, не всегда применимы. Миграция, основанная на параксиальной аппроксимации, модифицированном принципе построения изображений и суммировании изображений, построенных на основе данных общего пункта взрыва и общего пункта приема, дает тот-же результат, что и метод псевдо-инверсии в тех случаях, где выполнены условия применимости лучевого метода. Но вместе с тем, предлагаемый алгоритм может применяться и в более сложных случаях.

  В разделе 5.6 приведены примеры опробования разработанной методологии на примере синтетических данных морского типа. Один из примеров посвящен обработке данных, созданных для модели соляного тела, которая считается в международных геофизических обществах ЭЕС и ЕАСЕ одним из эталонов для тестирования методов миграции.

  В разделе 5.7 приведен результат миграции сейсмических данных, полученных в Мексиканском заливе. В разделе 5.8 модифицированный принцип построения изображения обобщен на трехмерный случай.

  В главе б приводится сравнение в высокочастотном приближении миграции на основе метода наименьших квадратов с миграцией на основе модифицированного принципа построения изображения, так как эти алгоритмы миграции предназначены для восстановления возмущения параметров среды.

  В разделе 6.1 приводится интегральное уравнение для определения возмущения параметров среды. В матричной записи ему аналогично уравнение

  ВтВг = Втс1, (22) где г - искомое возмущение параметров среды, й - данные, измеренные на дневной поверхности, В - оператор, сопоставляющий малому возмущению параметров среды сейсмические данные на дневной поверхности. Оператор ВТВ называется Гессианом. Оператор Вт является оператором миграции сейсмических данных.

  В разделе 6.2 приводится решение данного уравнения в высокочастотном приближении. Оказывается, что результат решения полностью аналогичен результату применения метода псевдо-инверсии, и, следовательно, результату применения модифицированного принципа построения изображения среды в высокочастотном приближении.

  Практически это означает, что модифицированный принцип построения изображения среды может быть использован в итерационных алгоритмах восстановления параметров среды, которые формулируются на основе метода наименьших квадратов.

  В главе 7 приведены результаты сравнения практической реализации миграции на основе метода наименьших квадратов с миграцией на основе модифицированного принципа построения изображения.

  Практическая реализация миграции па основе метода наименьших квадратов (см. ) основана на диагональной аппроксимации Гессиана: ВТВ ~ На = (Иад{ВтВ). Оценка параметров среды является взвешенным результатом миграции данных: г ~ УГН~1ВТ<1, (23) где IV - диагональная весовая матрица (см. раздел 7.1).

  Сравнение методов миграции проведено на двух моделях (разделы 7.1 и 7.2). Достоинством миграции на основе метода наименьших квадратов является лучшее качество структурного изображения среды. Однако, в случае присутствия латеральных вариаций в скоростной модели, миграция на основе модифицированного принципа построения изображения дает лучшую оценку возмущения медленности среды.

  Похожие диссертационные работы по специальности «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», 25.00.10 шифр ВАК

  • Восстановление скоростного строения неоднородных сред методом полного обращения волновых сейсмических полей 2009 год, доктор физико-математических наук Чеверда, Владимир Альбертович

  • 2013 год, кандидат физико-математических наук Довгилович, Леонид Евгеньевич

  Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Киященко, Денис Александрович, 2006 год

  1. J.F. Claerbout, Toward a unified theory of reflector mapping, Geophysics, V. 36, N. 3, pp. 467-481, 1971.

  2. J.F. Claerbout, Imaging the earth"s interior, Blackwell Scientific Publication со., 1983.

  3. W.A. Mulder and R.-E. Plessix, A comparision between one-way and two-way wave-equation migration, Geophysics, V. 69 N. 6, pp. 1491-1504, 2004.

  4. M. A. Leontovich and V.A. Fock, Solution of the problem of propagation of electromagnetic waves along the earth"s surface by the method of parabolic equation, J. Exp. Theoret. Phys., 16, pp. 557-573, 1946.

  5. F. Tappert, The parabolic approximation method, in: J.B. Keller, J.S. Papadakis (Eds.), Wave Propagation and Underwater Acoustics, American Institute of Physics, v. 70, Springer, New York, pp. 224-280, 1977.

  6. D. Lee and A.D. Pierce, Parabolic equation development in recent decade, J. of Сотр. Acoustics, 3(2), pp. 95-173, 1995.

  7. D. Ristow and T. Ruhl, 3-D implicit finite-difference migration by multi-way splitting, Geophysics, V. 62 N. 2, pp. 554-567, 1997.

  8. F. Collino and P. Joly, Splitting of operators, alternate directions, and paraxial approximations for three-dimensional wave equation, SIAM J. Sci. Comput., Vol. 16, No. 5, pp. 1019-1048, 1999.

  9. Gazdag J., Wave equation migration with the phase shift method, Geophysics, 43, pp. 1342-1351, 1978.

  10. J. Gazdag and P. Squazerro, Migration of seismic data by phase shift plus interpolation, Geophysics, 48, pp. 124-131, 1984.

  11. R.-S. Wu, Wide-angle elastic wave one-way propagation in heterogeneous media and an elastic wave complex-screen method, Journal of Geophysical Research, V. 99, No Bl, pp. 751-766, January 10, 1994.

  12. R.-S. Wu and L.-J. Huang, Reflected wave modeling in heterogeneous acoustic media using De Wolf approximation, Mathematical Methods in Geophycal Imaging, edited by Hassenzadeh, SPIE, pp. 176-186, 1995.

  13. R.-S. Wu, Accuracy analysis of screen propagators for wave extrapolation using a thin-slab model, SEG 67th Annual Meeting, 1997.

  14. X.-B. Xie and R.-S. Wu, 3D elastic wave modeling using the complex screen method, SEG 66th Annual Meeting, 1996.

  15. X.-B. Xie and R.-S. Wu, Improve the wide-angle accuracy of screen method under large contrast, SEG 68th Annual Meeting, 1998.

  16. S. Jin and R.-S. Wu, Prestack depth migration using a hybrid pseudo-screen propagator, SEG 69th Annual Meeting, 1999.

  17. S. Jin, Experimenting with the hybrid pseudo-screen migration, SEG 70th Annual Meeting, 2000.

  18. A. Bamberger, B. Engquist, L. Halpern and P. Joly, Parabolic wave equation approximations in heterogeneous media, Siam J. Appl. Math., Vol. 48, No. 1, pp. 99128, 1991.

  19. Yu. Zhang, G. Zhang and N. Bleistein, Wave equation migration arising from true amplitude one-way equations, Problems Inverses, 19, pp. 1113-1138, 2003.

  20. C. Wapenaar and J. Grimbergen, Reciprocity theorems for one-way wavefields, Geophys. J. Int., 127, pp. 169-177, 1996.

  21. M. De Hoop and A. Gautesen, Uniform asymptotic expansion of the square root Helmholtz operator and the one-way wave propagator, Siam. J. Appl. Math., V. 63, No. 3, pp. 777-800, 2003.

  22. Петрашень Г.И., Нахамкин С.И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки. Л.: Наука, 1973, 170 с.

  23. Гольдин С.В. Интегральные продолжения волновых полей. Геология и геофизика, 1985, No. 5, с. 103-113.

  24. Гольдин С.В. К общей теории продолжения волновых полей. Новосибирск, 1986. 45 с. (Препринт No. 8, Институт геологии и геофизики СО АН СССР).

  25. Tarantola, А., 1984. Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation, Geophysics, V. 49, N. 8, pp. 1259-1266.

  26. Beylkin, G., 1985. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem by inversion of a causal generalized Randon transform, J. math. Phys., 26, 99-108.

  27. Рыжиков Г.А., Троян B.H. Применение методов вычислительной томографии при решении интерпретационных сейсмических задач // Вестник Ленинградского университета, 1985, N 25.

  28. Рыжиков Г.А., Троян В.Н. Определение волнового поля и скорости в среде с использованием метода теории возмущений // Вестник Ленинградского университета, 1986, N 25.

  29. Bleistein, N., 1987, On the imaging of the reflectors in the earth, Geophysics, 52, 931-942.

  30. Bleistein, N., J. Cohen and J. Stockwell, 2001, Mathematics of multi-dimensional seismic imaging and inversion, Springer, New York, 511 p.

  31. ЬатЬагё, G., Virieux, J., Madariaga, R., and Jin, S., 1992. Iterative asymptotic inversion in the acoustic approximation, Geophysics, 57, 1138-1154.

  32. Thierry, P., Operto, S. and Lambar6, G., 1999. Fast 2D ray+Born migration/inversion in complex media, Geophysics, 34, 162-182.

  33. Backus G., Gilbert F. Numerical applications of a formalism for geophysical inverse problems // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1967, Vol. 13.

  34. Goldin, S. V., 1987, Dynamic analysis of images in seismics, Geology and Geophysics, Allerton Press, 28, no. 2, 84-93 (репринт, Геология и Геофизика, 28, N 2, с. 90-98)

  35. Keho, Т.Н., and Beydoun, В., 1988. Paraxial ray Kirchhoff migration Geophysics, 53, 12, 1540-1546.

  36. Schleicher, J., Filpo, E., Hanitzsch, C. Hubral, P. and Tygel, M., 1993, Amplitude-preserving migration using diffraction stacks, 38th. Ann. Int. Mtg., SPIE, Proceedings, Mathematical Methods in Geophysical Imaging, vol. 2003, 97-108.

  37. Kiyashchenko, D., Kashtan, В., Plessix, R.-E., 2004, Anisotropic migration weight for amplitude-preserving miration and sensitivity analysis, Geophys. J. Int., V. 157, 753763.

  38. Docherty, P., 1991. A brief comparison of some Kirchhoff integral formula for migration and inversion, Geophysics, 56, 1164-1169.

  39. A. Ziolkowski, P. Hannsen, R. Gatliff, H. Jacubowicz, A. Dobson, G. Hampson, X.Y. Li and E. Liu, Use of low frequencies for sub-basalt imaging, Geophysical Prospecting, 51, pp. 169-182, 2003.

  40. Lailly, P., 1983. The seismic inverse problem as a sequence of before stack migration, in Proc. Conf. on Inverse Scattering, Theory and Application, SIAM, Philadelphia.

  41. Chavent, G. & Plessix, R.-E., 1999. An optimal true amplitude least-squares prestack depth migration, Geophysics, 64, 508-515.

  42. Shin, C., Jang, S. k. Min, D., 2001. Improved amplitude preservation for prestack depth migration by inverse scattering theory, Geophysical Prospecting, 49, 592-606.

  43. Plessix, R.E. & Mulder, W.A., 2004. Frequency-domain finite-difference amplitude-preserving migration, Geophys. J. Int., 157, 975-987.

  44. F. Joncour, J. Svay-Lucas, G. Lambare and B. Duquet, True amplitude wave equation migration, Expanded Abstracts of 67th EAGE International Conference and Exhibition, June 2005, Madrid.

  45. Sava, P., Fomel, S., Amplitude-preserved common gathers by wavefield continuation methods, Geophysics, Vol. 68, N. 3, pp. 1065-1074, 2003.

  46. Lambar<5, G., Virieux, J., Madariaga, R., & Jin, S., 1992. Iterative asymptotic inversion in the acoustic approximation, Geophysics, 57, 1138-1154.

  47. Sevink, A., Asymptotic seismic inversion, Ph.D thesis, Delft University of Technology, The Netherlands, 1996.

  48. George, A. and Liu, J.W, Computer solution of large sparse positivie definite systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New-York, 1981.

  49. Erlanga, Y.A., Vuik, C., and Oosterlee, C., 2004, On a class of preconditioned for the Helmholtz equation, Applied Num. Math, 50, 409-425.

  50. J.P. Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. J. of Сотр. Phys, 114:185-200, 1994.

  51. H.H. Калиткин, Численные методы, M., Наука, 1978.

  52. George, A. and Liu, J.W, Computer solution of large sparse positivie definite systems, Prentice-Hall, Englewood ClifTs, New-York, 1981.

  53. Robert W. Clayton and Bjorn Engquist, Absorbing boundary conditions for wave equation migration, Geophysics, V. 45, N. 5, p. 895-904.

  54. Aminzadeh, F., Brae, J. and Kunz, Т., 1997. 3D Salt and Overthrust Model, Soc. of Expl. Geophysicists.

  55. F. Collino. Numerical analysis of mathematical models for wave propagation. Report, PSI Consortium, IFP, Rueil-Malmaison, France, 1993.

  56. A. ten Kroode, Smit, D. &c Verdel, A., 1994. A microlocal analysis of the migration, Wave Motion, 28, 149-172.

  57. Treves, F., 1980. Introduction to Pseudo-differential and Fourier Integral Operators, Plenum Press, New-York.

  58. В. Троян, Ю. Киселев, Статистические методы обработки и интерпретации геофизических данных, Издательство СПбГУ, 2000, 578 с.

  59. Lambar6, G., Virieux, J., Madariaga, R., & Jin, S., 1992. Iterative asymptotic inversion in the acoustic approximation, Geophysics, 57, 1138-1154.

  60. Sevink, A., Asymptotic seismic inversion, Ph.D thesis, Delft University of Technology, The Netherlands.

  61. K. Aki and P.G. Richard, Quantitative Seismology, Theory and Methods, Freeman abd company, San Franscico, 1980.

  62. Федорюк M.B., Метод перевала, M., Наука, 1977, 368 с.

  63. Kiyashchcnko, D., Kashtan, В., 2004: Multi-one-way modeling method, Proceedings of 5-th international conference "Problems of Geocosmos", May 24-28, St. Petersburg, Russia, p. 255

  64. Kiyashchenko, D., Plessix, R.-E., Kashtan, B., 2004: Improved amplitude multistep one-way modelling, 66-th EAGE Conference and Exhibition, 7-10 June 2004, Paris, France, p. 4

  65. Kiyashchenko, D., Plessix, R.-E., Kashtan, B., Multi-one-way modeling method, Proceedings of 7-th SEGJ International Symposium, 24-26 November 2004, Sendai, Japan, p. 162.

  66. Kiyashchenko, D., Plessix, R.-E., Kashtan, B., Troyan, V., Improved amplitude multi-one-way wave equation migration, Expanded Abstracts of 67th EAGE Conference and Exhibition, 13-16 June 2005, Madrid, Spain, p. 4.

  67. Kiyashchenko, D., Plessix, R.-E., True amplitude multi-one-way modeling method: comparison of different imaging principles, Expanded Abstracts of 75th SEG Annual Conference and Exhibition, 6-11 November, Houston, USA, p. 4.

  68. Kiyashchenko, D., Plessix, R.-E., Kashtan, B., Troyan, V., True amplitude thin slab multi-one-way inversion application to marine-type seismic data, Expanded Abstracts of 68th EAGE Conference and Exhibition, 12-15 June 2006, Vienna, Austria, p. 4.

  69. Kiyashchenko, D., Plessix, R.-E., Kashtan, B., Troyan, 2005, Improved amplitude multi-one-way modeling method, Wave Motion, 43, p. 99-115.

  Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.